Matematika érettségi

A háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei

A háromszögek oldalfelező merőlegesei

A háromszög oldalfelező merőlegesei az oldalszakaszok felezőmerőlegesei.

Tétel: A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást.

Bizonyítás: Az ABC háromszög AB oldalának felezőmerőlegese az e, a BC oldalának felezőmerőlegese az f egyenes. Legyen ef = M. Természetes, hogy Me és Mf, ezért AM=BM és BM=CM. Ebből következik: AM=CM, azaz az M pont az AC oldal felezőmerőlegesének is pontja. Egyetlen ilyen pont létezik. Az M pont egyenlő távolságra van a háromszög mindhárom csúcsától, ezért az M pont egy olyan kör középpontja, amely átmegy a háromszög mindhárom csúcspontján. Az oldalfelező merőlegesek metszéspontja a háromszög köré írt kör középpontja. (Hegyes-szögűnél belül, derékszögűnél az átfogón, tompaszögűnél kívül).

A háromszög magasságvonalai

A háromszög magasságvonalának a csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest nevezzük. Ennek azt a szakaszát, amely a háromszög egyik csúcsa és a szemközti oldal egyenese között van, a háromszög egyik magasságának nevezzük.

Tétel: A háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást.

A három magasságvonal közös pontját a háromszög magasságpontjának nevezzük. Azt a pontot, ahol az egyik csúcsból húzott magasság a szemközti oldal egyenesét metszi, a magasság talppontjának nevezzük.

A háromszög szögfelező egyenesei

A háromszög belső szögeinek szögfelező félegyeneseit röviden a háromszög szögfelezőinek nevezzük. A külső szögek szögfelezőit külső szögfelezőknek mondjuk.

Tétel: A háromszög három szögfelezője egy pontban metszi egymást.

A háromszög szögfelezőinek M metszéspontja egyenlő távolságra van a háromszög mindhárom oldalától, ezért az M pont egy olyan kör középpontja, amely érinti a háromszög oldalait. Ezt a kört a háromszög beírt körének nevezzük, ezért a három szögfelező közös pontját a beírt kör középpontjának mondjuk. A háromszög szögfelezőinek metszéspontja a beírt körének középpontja.

Tétel: Bármely háromszögben egy belső szög szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre.

A háromszög középvonalai

Definíció: A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük.

Tétel: A háromszög bármely középvonala párhuzamos a háromszög harmadik oldalával, és hossza fele a harmadik oldal hosszának.

A háromszög súlyvonalai

Definíció: Egy háromszög súlyvonalának a háromszög egyik csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt nevezzük.

Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban, a súlypontban metszik egymást. A súlypont a súlyvonalakat 2: 1 arányban osztja két részre. (A hosszabb szakasz a csúcs felől van).

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük