Az exponenciális függvények

Definíció: Az f: R  R, f(x)= a^x (0<a és a1) függvényeket exponenciális függvényeknek nevezzük.

Az így definiált a^x exponenciális függvények értékkészlete a pozitív számok halmaza. Képük folytonos vonal. Minden R  R, f(x)= a^x exponenciális függvénynek x=0-nál 1 a függvényértéke. A koordinátasíkon a képük az y tengelyt 1-nél metszi. Minden exponenciális függvény monoton. Ha 1<a, akkor az a^x exponenciális függvény monoton nő, ha 0<a<1, akkor az a^x exponenciális függvény monoton csökken. Az a^x és az (1/a)^x= 1/a^x exponenciális függvények képei egymás tükörképei az y tengelyre vonatkozóan.

Az a^x (0<a és a1) függvény monoton, és értékkészlete a pozitív számok halmaza. Emiatt bármely pozitív szám felírható valamely a szám hatványaként.

A logaritmus fogalma

Definíció: A b pozitív szám a alapú (0<a és a1) logaritmusának nevezzük azt a kitevőt, amelyre a-t emelve b-t kapunk. Jelölése: log_ab

A definíció röviden: a^log_a^b=b (0<a, a1, 0<b).

A logaritmus definíciójából következik, hogy bármilyen megengedett alap esetén log_a1=0 és log_aa=1.

Mivel a számrendszerünk alapja 10, gyakran dolgozunk 10-es alapú logaritmussal. Megállapodunk abban, hogy a számok 10-es alapú logaritmusát egyszerűbben jelöljük. Nem rakjuk ki a 10-es alapot, és log helyett lg-t írunk.

A logaritmusfüggvények

Definíció: Az f: R⁺  R, f(x)= log_ax (0<a és a1) függvényt logaritmusfüggvénynek nevezzük. Más jelöléssel: x | log_ax

Az f(x)=log_ax függvények értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza, értékkészlete a valós számok halmaza.

A logaritmusfüggvények képe folytonos vonal. Minden x | log_ax függvénynek x=1-nél 0 a függvényértéke, azaz képük a koordinátasík x tengelyét 1-nél metszi. A logaritmusfüggvény monoton. Ha 1<a, akkor az log_ax függvény monoton növekvő, ha 0<a<1, akkor monoton csökkenő.

Az azonos alapú exponenciális és logaritmusfüggvény egymásnak inverze, azaz az egyik görbe egyenlete az x és y felcserélésével adódik. A két grafikus kép az y = x egyenletű egyenesre vonatkozóan egymás tükörképe. Ugyanis az x|a^x függvény inverze az a^x|x, azaz a^x|a^log_a^x függvény. Ebből az x|log_ax függvényhez juthatunk.

A logaritmus azonosságai

• Szorzat logaritmusa: log_a(bc) = log_ab+log_ac

• Hányados logaritmusa: log_a(b/c) = log_ab-log_ac

• Hatvány logaritmusa: log_ab^k = klog_ab

Az e alapú logaritmus: természetes logaritmus (logaritmus naturalis): ln.

Egy szám új alapú logaritmusát megkapjuk, ha a szám régi alapú logaritmusát elosztjuk az új alapú logaritmusával: log_bk = log_ak/log_ab