Matematika érettségi

A logaritmus. Az exponenciális- és logaritmusfüggvény

Az exponenciális függvények

Definíció: Az f: R R, f(x)= ax (0<a és a1) függvényeket exponenciális függvényeknek nevezzük.

Az így definiált ax exponenciális függvények értékkészlete a pozitív számok halmaza. Képük folytonos vonal. Minden R R, f(x)= ax exponenciális függvénynek x=0-nál 1 a függvényértéke. A koordinátasíkon a képük az y tengelyt 1-nél metszi. Minden exponenciális függvény monoton. Ha 1<a, akkor az ax exponenciális függvény monoton nő, ha 0<a<1, akkor az ax exponenciális függvény monoton csökken. Az ax és az (1/a)x= 1/ax exponenciális függvények képei egymás tükörképei az y tengelyre vonatkozóan.

Az ax (0<a és a1) függvény monoton, és értékkészlete a pozitív számok halmaza. Emiatt bármely pozitív szám felírható valamely a szám hatványaként.

A logaritmus fogalma

Definíció: A b pozitív szám a alapú (0<a és a1) logaritmusának nevezzük azt a kitevőt, amelyre a-t emelve b-t kapunk. Jelölése: logab

A definíció röviden: alogab=b (0<a, a1, 0<b).

A logaritmus definíciójából következik, hogy bármilyen megengedett alap esetén loga1=0 és logaa=1.

Mivel a számrendszerünk alapja 10, gyakran dolgozunk 10-es alapú logaritmussal. Megállapodunk abban, hogy a számok 10-es alapú logaritmusát egyszerűbben jelöljük. Nem rakjuk ki a 10-es alapot, és log helyett lg-t írunk.

A logaritmusfüggvények

Definíció: Az f: R+ R, f(x)= logax (0<a és a1) függvényt logaritmusfüggvénynek nevezzük. Más jelöléssel: x | logax

Az f(x)=logax függvények értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza, értékkészlete a valós számok halmaza.

A logaritmusfüggvények képe folytonos vonal. Minden x | logax függvénynek x=1-nél 0 a függvényértéke, azaz képük a koordinátasík x tengelyét 1-nél metszi. A logaritmusfüggvény monoton. Ha 1<a, akkor az logax függvény monoton növekvő, ha 0<a<1, akkor monoton csökkenő.

Az azonos alapú exponenciális és logaritmusfüggvény egymásnak inverze, azaz az egyik görbe egyenlete az x és y felcserélésével adódik. A két grafikus kép az y = x egyenletű egyenesre vonatkozóan egymás tükörképe. Ugyanis az x|ax függvény inverze az ax|x, azaz ax|alogax függvény. Ebből az x|logax függvényhez juthatunk.

A logaritmus azonosságai

  • Szorzat logaritmusa: loga(bc) = logab+logac

  • Hányados logaritmusa: loga(b/c) = logab-logac

  • Hatvány logaritmusa: logabk = klogab

Az e alapú logaritmus: természetes logaritmus (logaritmus naturalis): ln.

Egy szám új alapú logaritmusát megkapjuk, ha a szám régi alapú logaritmusát elosztjuk az új alapú logaritmusával: logbk = logak/logab

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé.