A kör egyenlete

A kör középpontja legyen C(u;v) és sugara r. A kör tetszőleges P(x;y) pontjára igaz: PC=r A PC szakasz hosszát, végpontjainak távolságát felírjuk koordinátái segítségével: (x-u)²+(y-v)²=r (x-u)²+(y-v)²=r²

Bármely körnek az egyenlete másodfokú két-ismeretlenes egyenlet.

A parabola

Definíció: A parabola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy adott F pontjától (a fókuszponttól) és egy adott v egyenestől (a vezéregyenestől) egyenlő távolságra vannak (F nincs rajta v-n).

A vezéregyenes és a fókuszpont távolságát a parabola paraméterének nevezzük, és p-vel jelöljük. A v egyenes és az F pont távolságának a felezőpontja a parabola tengelypontja (csúcspontja), és a távolság egyenesként való értelmezése a parabola tengelye.

Bármely parabola, amelynek tengelye párhuzamos az y tengellyel, megfelelő eltolással olyan helyzetbe hozható, amelyben tengelypontja az origó. A lefelé és felfelé nyitott parabolák az x tengelyre történő tükrözéssel, egymásba átvihetők. Így elég a felfelé nyitott parabolákat vizsgálnunk.

Tekintsünk olyan helyzetű parabolát, amelynek tengelye az y tengely; tengelypontja az origó, és a parabola a koordinátasík I. És II. Negyedében van. A parabola paramétere p; vezéregyenesének egyenlete y=-p/2; fókuszpontja F(0;p/2). A parabola tetszőleges pontja: P(x;y). A parabola definíciója alapján: d(P;F) = d(P;v).ebbe behelyettesítve a vezéregyenes és a P pont koordinátáit: x²+(y-p/2)²=y+p/2 ebből átalakítással kapjuk: y=(1/2p)x²

Ezt a parabola tengelyponti egyenletének nevezzük. (vagy csúcsponti egyenlet).

Bebizonyítható, hogy bármilyen helyzetű is a parabola, egyenlete másodfokú két-ismeretlenes egyenlet.