Matematika érettségi

Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben

Nevezetes ponthalmazok

A szakasz felezőmerőlegesének definíciója: A síkban egy szakasz felezőmerőlegese azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távolságban vannak.

Egy szakasz két végpontjától egyenlő távolságban levő pontok halmaza a szakaszt felező és a szakaszra merőleges sík.

Definíció: A körvonal az S sík egy adott O pontjától megadott r távolságban lévő síkbeli pontok halmaza. Körvonal= {P | OP =r; O S, P S}.

A körlap az S sík egy adott O pontjától megadott r távolságnál nem nagyobb távolságra lévő síkbeli pontok halmaza. Körlap = {P | OP<=r; O S, P S}.

Definíció: A kör érintője olyan egyenes, amely a kör síkjában van és a körrel pontosan egy közös pontja van.

Tétel: A kör érintője merőleges az érintési pontjához húzott sugárra.

Bizonyítás: Indirekt módon. Tegyük fel, hogy az érintő-egyenes nem merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra. Ebben az esetben meg tudjuk húzni a kör középpontján átmenő, az érintőhöz húzott merőlegest, ami viszont azonos lesz a kör érintőjének érintkezési pontjával, vagyis a tételt bebizonyítottuk.

Definíció: A gömbfelület egy adott O ponttól megadott r távolságban lévő pontok halmaza: gömbfelület = {P | OP = r}.

A gömbtest egy adott O ponttól megadott r távolságnál nem nagyobb távolságra lévő pontok halmaza: gömbtest = {P | OP<=r}.

Definíció: A gömb érintő-egyenese olyan egyenes, amelynek a gömbfelülettel pontosan egy közös pontja van.

Definíció: A gömb érintősíkja olyan sík, amelynek a gömbfelülettel pontosan egy közös pontja van.

Tétel: A gömb érintő-egyenese merőleges az érintési ponthoz húzott gömbsugárra.

A gömbfelület egy pontjához végtelen sok érintő-egyenes húzható, ezek egy síkban vannak, és ez a sík a gömb érintősíkja.

Tétel: A gömb érintősíkja merőleges az érintési ponthoz húzott gömbsugárra.

Egy adott egyenestől adott, egyenlő távolságban levő pontok halmaza a síkban az adott egyenessel párhuzamos két egyenes. Egy adott egyenestől adott, egyenlő távolságban lévő pontok halmaza egy körhengerpalást.

A síkban egy adott r sugarú körtől adott d távolságban levő pontok halmaza, ha, ha

  1. d<r, akkor az adott körrel koncentrikus két kör, az egyik sugara r+d, a másik sugara r-d;

  2. d=r, akkor az adott körrel koncentrikus r+d sugarú kör és egy pont, a körök középpontja.

  3. D>r, akkor az adott körrel koncentrikus egyetlen kör, ennek sugara r+d.

Tudjuk, hogy egymást érintő két kör középpontja és az érintési pontjuk egy egyenesre illeszkednek. Ekkor az érintési pontban közös egyenes az érintőjük. Két kör kívülről és belülről érintheti egymást. Ha az O1 középpontú r1 sugarú k1 kör és az O2 középpontú r2 sugarú k2 kör kívülről érintik egymást, akkor középpontjaik távolsága: O1O2 = r1 + r2. Ha az előző két kör érintkezésénél az egyik belső kör, akkor középpontjaik távolsága: O1O2 = r1 – r2. Egy adott r sugarú kört kívülről érintő d sugarú körök középpontjainak halmaza az adott körrel koncentrikus r+d sugarú kör. Egy adott r sugarú kört belülről érintő d (d<r) sugarú körök középpontjainak halmaza az adott körrel koncentrikus r-d sugarú kör.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük