Matematika érettségi

Számhalmazok, halmazok számossága

Számhalmazok

A 0, 1, 2, 3… számokat természetes számoknak nevezzük. Jele: N

Ha természetes számokkal összeadást, szorzást, végzünk, akkor az eredményünk is természetes szám lesz.

A …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… számokat egész számoknak nevezzük. Jele: Z

Ha egész számokkal összeadást, kivonást (összevonást) és szorzást végzünk, akkor az eredményünk is egész szám.

Azokat a számokat, amelyek a/b alakúak, ha a és b egész számok (b0), racionális számoknak nevezzük. (Latin szó, jelentése: arány). Jele: Q

A racionális számokat tizedes-tört formában is felírhatjuk, ami lehet véges, vagy szakaszos végtelen tizedes-tört, azaz periodikus tizedes-tört.

Tétel: Minden racionális szám periodikus tizedes-tört alakban is felírható.

Bizonyítás: Ha az a/b törtnél az osztás folyamán mindig lesz maradék, akkor a b-vel való osztásnál a maradék az 1,2, 3… b-1 számok valamelyike, tehát a maradék legfeljebb (b-1)-féle lehet. Ezért előbb-utóbb ismétlődő maradékhoz jutunk és onnan kezdve az osztási eljárás folytán periodikus ismétlődés lesz. Emiatt a hányados számjegyeiben is periodikus ismétlődés mutatkozik. Ha olyan az osztás, hogy egyszer nem lesz maradék, azt úgy is tekinthetjük, hogy a maradék 0, és ezért a hányadosban periodikusan ismétlődik a 0. Az állítás fordítva is igaz: bármely periodikus tizedes-tört felírható két egész szám hányadosaként.

A nem periodikus végtelen tizedes-törteket irracionális számoknak nevezzük. Jele: Q*

A végtelen tizedes-törtekkel megadható számokat valós számoknak nevezzük. Jele: R

A számhalmazok ábrázolása Venn-diagrammal történik.

Fogalmak, állítások

Két valós számunk van, a és b. Közülük a<b, ha van olyan d pozitív szám, hogy fennáll a b= a+d. Ezt a rendezés definíciójának nevezzük.

A valós számok abszolútértékének definíciója:

|a|= a, ha 0<=a

-a, ha a<0.

A valós számok összeadása kommutatív és asszociatív tulajdonságú. A kommutatív tulajdonság: a+b = b+a: két tag összeadásánál a két tagot felcserélhetjük, az összeg nem változik. Az asszociatív tulajdonság: (a+b)+c = a+(b+c): több tag összeadásánál a tagokat tetszés szerint csoportosíthatjuk.

A valós számok szorzása kommutatív és asszociatív tulajdonságú. A kommutatív tulajdonság: ab =ba: két tényező összeszorzásánál a két tényezőt felcserélhetjük, a szorzat nem változik. Az asszociatív tulajdonság: (ab)c = a(bc): több tényező szorzásánál a tényezőket tetszés szerint csoportosíthatjuk.

A valós számok szorzása az összeadásra nézve disztributív tulajdonságú: (a+b)c =ac+bc: ha a valós számok összegét szorozzuk egy valós számmal, akkor ugyanazt kapjuk, mintha az összeg tagjait külön-külön szorozzuk a szorzóval, és a kapott szorzatokat összeadjuk.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük