Matematika érettségi

A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete, kerületi szög, középponti szög

A kör középponti szöge, a körív hossza, a körcikk területe

A körben a középponti szög csúcs a kör középpontja, két szára a kör két sugara. A két sugár két középponti szöget határoz meg. Mindkét középponti szög szárai között egy-egy körív van. A két sugár félegyenesével és a közte lévő körívvel határolt körlap-részt körcikknek nevezzük.

Tétel: Egy körben a középponti szögek nagyságai és a hozzájuk tartozó körívek hosszai egyenesen arányosak.

Tétel: Egy körben a középponti szögek nagyságai és a hozzájuk tartozó körcikkek területei egyenesen arányosak.

Bizonyítás: A körívek hosszára vonatkozó aránypár: :360= i:2r, ebből i=r/180

A körcikkek területére vonatkozó aránypár: :360=t:r2, ebből t=r2/360

i:2r = t:r2, ebből t=ri/2. Azaz a körcikk területét megadja a körívhosszúság és a sugár szorzatának a fele.

Középponti és kerületi szögek tétele

A kör kerületi szögének nevezzük mindazokat a konvex szögeket, amelyeknek a csúcs a kör kerületén van és két száruk vagy két húr, vagy egy húr és egy érintő.

Tétel: Egy körben az azonos ívhez tartozó középponti és kerületi szögek aránya 2:1.

Kerületi szögek tétele, látószögkörív

Tétel: Egy körben az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők.

Bizonyítás: Egy körben, egy adott körívhez egyetlen középponti szög és végtelen sok kerületi szög tartozik. Valamennyi kerületi szögre vonatkozik a középponti és kerületi szögek tétele, ezért valamennyi kerületi szög egyenlő az egyetlen középponti szög felével.

Tétel: A síkon azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz adott (0<<180) szögben látszik, két szimmetrikus körív (látószögkörív). Az adott szakasz a két szimmetrikus körív közös húrja. Ennek végpontjai nem tartoznak a látószögkörívhez.

A körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele

Tétel: A körhöz egy külső pontból húzott érintőszakasz mértani közepe annak a két szakasznak, amelyek a külső pontra illeszkedő bármely szelőn a ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjednek.

Tétel: Ha egy körhöz egy külső pontból tetszőleges szelőket húzunk, akkor az egyes szelőkön a P ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjedő szakaszok szorzata állandó.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük