Matematika érettségi

Sokszögek, szimmetrikus sokszögek

A sokszögekről

Azokat a sokszögeket nevezzük konvexeknek, amelyek bármely két pontjukkal együtt a két pontot összekötő szakasz minden pontját is tartalmazzák.

Konkáv sokszögek azok, amelyeknek nem minden pontjára igaz, hogy összekötő szakaszukat teljes egészében tartalmazza a sokszög.

Tétel: Az n- oldalú konvex sokszög bármely csúcsából n-3 átló húzható.

Bizonyítás: Az n- oldalú konvex sokszög bármely csúcsát tekintjük, abból saját magához és a két szomszédos csúcshoz nem húzhatunk átlót, de minden más csúcshoz húzhatunk, ezért az átlók száma n-3.

Tétel: Az n- oldalú konvex sokszögben húzható átlók száma n(n-3)/2

Tétel: Az n- oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege: (n-2)180

Sokszögek területét háromszögekre bontással és a részterületek meghatározásával, majd megfelelő összegzésével számíthatjuk ki.

Szimmetrikus sokszögek

Definíció: Azokat a sokszögeket, amelyeknek minden oldala egyenlő hosszúságú és minden szöge egyenlő nagyságú, szabályos sokszögeknek nevezzük.

Minden szabályos sokszögnél találunk szimmetriát. Minden szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus. Az n oldalú szabályos sokszögnek n darab szimmetriatengelye van. Ha n páros, akkor a szimmetriatengelyek kétfélék: n/2 szimmetriatengely a szemközti csúcsokra illeszkedő egyenes; másik n/2 szimmetriatengely a szemközti oldalak felezőmerőlegese. Ha n páratlan, akkor mind az n szimmetriatengely egy-egy oldal felezőmerőlegese.

Minden szimmetriatengely egy pontra illeszkedik, ezt a pontot a szabályos sokszög középpontjának nevezzük. Ha az n oldalú szabályos sokszög középpontját összekötjük a sokszög csúcsaival, akkor n egybevágó egyenlő szárú háromszöget kapunk.

A szabályos sokszög középpontjából rajzolhatunk egy olyan kört, amely átmegy a szabályos sokszög minden csúcsán. Ezt a kört a szabályos sokszög köré írt körének nevezzük.

A szabályos sokszög középpontjából rajzolhatunk egy olyan kört is, amely átmegy minden oldalának a felezőpontján. Ezt a kört a szabályos sokszög beírt körének nevezzük.

Minden szabályos sokszög forgásszimmetrikus is.

A páros oldalszámú szabályos sokszög középpontosan is szimmetrikus.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük