Matematika érettségi

Vektorok

A vektor fogalma, elnevezések, jelölések

Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük. Jelölésük: AB=a

A vektor hosszát a vektor abszolút-értékének nevezzük. Jelölése: |AB|=|a|

Ha két vektorhoz található olyan egyenes, amely mindkettővel párhuzamos, akkor ezeket párhuzamos vektoroknak vagy egyállású vektoroknak nevezzük. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha abszolút-értékük egyenlő, párhuzamosak (egyállásúak) és azonos irányításúak. Ha két vektor abszolút-értéke egyenlő, párhuzamosak (egyállásúak) és ellentétes irányúak, akkor a két vektort egymás ellentettjének nevezzük. Az a vektor ellentettje -a. Azt a vektort, amelynek abszolút-értéke 0, nullvektornak nevezzük. Jele: 0 A 0 iránya tetszőleges.

Vektorok összegezése és különbsége

Definíció: Adott az a és a b vektor. Egy pontból kiindulva felmérjük az egyik vektort, majd ennek végpontjába a másik vektort. A két vektor összege az a vektor, amely az első vektor kezdőpontjából a másik vektor végpontjába mutat.

Két vektor összeadása kommutatív művelet. A vektorok összeadása asszociatív művelet.

Definíció: Az a–b különbségen az a+(-b) összeget értjük, azaz az a-hoz hozzáadjuk a b ellentettjét.

Vektor szorzása számmal

Definíció: Adott egy a vektor és egy R szám. A) Ha a0, akkor az a vektor és a szám szorzata olyan vektor, amelynek abszolút-értéke |||a| és iránya 0< esetén az a vektor iránya, <0 esetén az a vektorral ellentétes, =0 esetén a=0, iránya tetszőleges. B) Ha a=0, akkor a=0.

A skalárral történő szorzás tulajdonságai: a+a és = (+)a, (a) = ()a, (a+b) = a+b.

Azok a vektorok egysíkúak, amelyekhez van olyan sík, amelyekkel párhuzamosak.

Vektor felbontása összetevőkre

Tétel: Ha adott az a és a vele egyállású b vektor (a0), akkor az a vektorból a b vektor skalárral történő szorzással előállítható. Azonos irányú a és b esetén: b=|b|a/|a|.

Bizonyítás: A vektorok nagyságukat látjuk. Egységvektoruk azonos: b/x = a/y, ebből b=(x/y)a. Ugyanezzel a gondolatmenettel dolgozhatunk ellenkező irányú vektorok esetén is.

Tétel: Ha adott a és b nem egyállású vektor, akkor bármely, velük egysíkú v vektor egyértelműen felbontható az adott vektorokkal egyállású összetevőkre, azaz egyértelműen felírható v= a+b alakban, ahol ,R. A v vektor előző felbontásánál a és b vektorok bázisvektorok.

Vektorok a koordinátasíkon

Helyvektorok összegének koordinátáit az egyes helyvektorok megfelelő koordinátáinak az összege adja meg. Az a (x1, y1) és b (x2, y2) helyvektorok összegének koordinátái: (x1+x2; y1+y2). A helyvektorok különbségének koordinátáit is hasonló elgondolással kapjuk meg. Egy vektor skalárszorosának koordinátáit az eredeti koordinátáknak ugyanazzal a skalárral történő szorzásával kapjuk meg. Valamely v (x; y) helyvektor c-szeresének koordinátái (cx; cy).

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük