Számsorozat fogalma, megadása és ábrázolása

Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, az értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza.

Számtani sorozat

Az a₁, a₂, a₃… a_n sorozatot számtani sorozatnak nevezzük, ha (a második tagtól kezdve) bármelyik tagból kivonjuk a megelőző tagot, a különbség állandó. Ezt az állandót a számtani sorozat különbségének vagy differenciájának nevezzük, és d-vel jelöljük.

a_n = a₁+(n-1)d.

Az első tag kivételével a számtani sorozat bármelyik tagja a tőle (balra és jobbra) szimmetrikusan elhelyezkedő két tag számtani közepével egyenlő. a_k+i = a_k+2i+a_k/2

Tétel: Nem létezik olyan csupa pozitív egész számokból álló számtani sorozat, amelynek minden tagja prímszám.

Bizonyítás: Legyen a sorozat első tagja a, a különbsége d. Az a legyen prímszám és a d pozitív egész szám. Tekintsük a sorozat n=a+1-edik tagját. a_n=a+(n-1)d = a+ad = a(1+d). Innen látható, hogy a sorozatban az (a+1)-edik tag nem lehet prímszám, mert osztható az a>1 és a d+1>1 egész számokkal.

A számtani sorozat első n tagjának összege: S_n = n(a₁+a_n)/2

Mértani sorozat

Az a₁, a₂, a₃… a_n sorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha (a második tagtól kezdve) bármelyik tagot elosztjuk a megelőzővel, a hányados állandó. Ezt az állandót a mértani sorozat hányadosának vagy kvóciensének nevezzük, és q-val jelöljük.

A definícióból következik, hogy a mértani sorozat tagjai között a 0 nem fordulhat elő, mert a 0-val osztani nem lehet.

A mértani sorozat n-edik tagjának kiszámítása: a_n = a₁q^n-1 (nZ⁺)

A pozitív számokból álló mértani sorozat bármelyik tagja a második tagtól kezdve a tőle balra és jobbra szimmetrikusan elhelyezkedő tagok mértani közepe. a_k+i = a_ka_k+2i

A mértani sorozat első n tagjának összege: S_n = a₁(qⁿ-1)/q-1

Korlátos, monoton sorozatok

Az {a_n} sorozat felülről korlátos, ha létezik olyan K valós szám, hogy minden n-re a_n<=K. A K számot a sorozat felső korlátjának nevezzük.

Az {a_n} sorozat alulról korlátos, ha létezik olyan k valós szám, hogy minden n-re, a_n>=k. A k számot a sorozat alsó korlátjának nevezzük.

Az olyan sorozatot, amely alulról is és felülről is korlátos, korlátos sorozatnak nevezzük.

Az {a_n} sorozat monoton növő (fogyó), ha minden n-re a_n<= a_n+1 (a_n>=a_n+1). Ha szigorú egyenlőtlenség teljesül, akkor szigorúan monoton sorozatról beszélünk.

Az {(1+1/n)ⁿ} sorozat korlátos.

Konvergens sorozatok

Egy a (valós) szám >0 sugarú környezetén az ]a-;a+[ nyílt intervallumot értjük. Az -tól függő N természetes számot küszöbindexnek nevezzük.

Az {a_n} sorozat konvergens és határértéke az a szám, ha bármely (az a számot tartalmazó) ]a-;a+[ (>0) intervallumon kívül a sorozatnak csak véges sok tagja van. Az {a_n} valós számsorozat konvergens és határértéke a, ha minden (>0) számhoz van olyan N természetes szám, hogy ha n>N, akkor |a_n-a|<. Az N számot küszöbszámnak nevezzük.

Minden konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. Minden konvergens sorozat korlátos.

Ha {a_n} monoton növő (fogyó) és felülről (alulról) korlátos sorozat, akkor van határértéke.

Ha minden n-re a_n<= c_n<= b_n, és a_n  a és b_n a, akkor c_n a.

Ha a_n  + vagy a_n  –, akkor 1/a_n  0.

Feltételezzük, hogy az {a_n} és a {b_n} sorozatok konvergensek, és a_n  a és b_n  b. Ekkor

• lim_n(a_n+-b_n) = lim_na_n+- lim_nb_n = a+-b

• lim_n(a_nb_n) = lim_na_n lim_nb_n = ab

• lim_n(ca) = c lim_na_n = ca (c tetszőleges valós szám).

• lim_n(a_n/b_n) = lim_na_n/ lim_nb_n = a/b, feltéve, hogy b_n0 és b0.

A mértani sor összege

Az s = a₁+a₂+a₃…+a_n+… össszeget sornak nevezzük. Az összegben szereplő számok az {a_n} sorozat tagjai.

Ha az s = a₁+a₂+a₃…+a_n+… sor részletösszegeiből alkotott sorozatnak van határértéke, akkor a sor összegét ezzel a határértékkel definiáljuk. Az ilyen sort konvergensnek nevezzük.

lim_n(1+1/n)ⁿ = e.

A mértani sornak akkor és csakis akkor van összege, ha 0<|q|<1. Az összeg s = a/(1-q).