Számsorozat fogalma, megadása és ábrázolása
Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, az értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza.
Számtani sorozat
Az a1, a2, a3… an sorozatot számtani sorozatnak nevezzük, ha (a második tagtól kezdve) bármelyik tagból kivonjuk a megelőző tagot, a különbség állandó. Ezt az állandót a számtani sorozat különbségének vagy differenciájának nevezzük, és d-vel jelöljük.
an = a1+(n-1)d.
Az első tag kivételével a számtani sorozat bármelyik tagja a tőle (balra és jobbra) szimmetrikusan elhelyezkedő két tag számtani közepével egyenlő. ak+i = ak+2i+ak/2
Tétel: Nem létezik olyan csupa pozitív egész számokból álló számtani sorozat, amelynek minden tagja prímszám.
Bizonyítás: Legyen a sorozat első tagja a, a különbsége d. Az a legyen prímszám és a d pozitív egész szám. Tekintsük a sorozat n=a+1-edik tagját. an=a+(n-1)d = a+ad = a(1+d). Innen látható, hogy a sorozatban az (a+1)-edik tag nem lehet prímszám, mert osztható az a>1 és a d+1>1 egész számokkal.
A számtani sorozat első n tagjának összege: Sn = n(a1+an)/2
Mértani sorozat
Az a1, a2, a3… an sorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha (a második tagtól kezdve) bármelyik tagot elosztjuk a megelőzővel, a hányados állandó. Ezt az állandót a mértani sorozat hányadosának vagy kvóciensének nevezzük, és q-val jelöljük.
A definícióból következik, hogy a mértani sorozat tagjai között a 0 nem fordulhat elő, mert a 0-val osztani nem lehet.
A mértani sorozat n-edik tagjának kiszámítása: an = a1qn-1 (nZ+)
A pozitív számokból álló mértani sorozat bármelyik tagja a második tagtól kezdve a tőle balra és jobbra szimmetrikusan elhelyezkedő tagok mértani közepe. ak+i = akak+2i
A mértani sorozat első n tagjának összege: Sn = a1(qn-1)/q-1
Korlátos, monoton sorozatok
Az {an} sorozat felülről korlátos, ha létezik olyan K valós szám, hogy minden n-re an<=K. A K számot a sorozat felső korlátjának nevezzük.
Az {an} sorozat alulról korlátos, ha létezik olyan k valós szám, hogy minden n-re, an>=k. A k számot a sorozat alsó korlátjának nevezzük.
Az olyan sorozatot, amely alulról is és felülről is korlátos, korlátos sorozatnak nevezzük.
Az {an} sorozat monoton növő (fogyó), ha minden n-re an<= an+1 (an>=an+1). Ha szigorú egyenlőtlenség teljesül, akkor szigorúan monoton sorozatról beszélünk.
Az {(1+1/n)n} sorozat korlátos.
Konvergens sorozatok
Egy a (valós) szám >0 sugarú környezetén az ]a-;a+[ nyílt intervallumot értjük. Az -tól függő N természetes számot küszöbindexnek nevezzük.
Az {an} sorozat konvergens és határértéke az a szám, ha bármely (az a számot tartalmazó) ]a-;a+[ (>0) intervallumon kívül a sorozatnak csak véges sok tagja van. Az {an} valós számsorozat konvergens és határértéke a, ha minden (>0) számhoz van olyan N természetes szám, hogy ha n>N, akkor |an-a|<. Az N számot küszöbszámnak nevezzük.
Minden konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. Minden konvergens sorozat korlátos.
Ha {an} monoton növő (fogyó) és felülről (alulról) korlátos sorozat, akkor van határértéke.
Ha minden n-re an<= cn<= bn, és an a és bn a, akkor cn a.
Ha an + vagy an –, akkor 1/an 0.
Feltételezzük, hogy az {an} és a {bn} sorozatok konvergensek, és an a és bn b. Ekkor
limn(an+-bn) = limnan+- limnbn = a+-b
limn(anbn) = limnan limnbn = ab
limn(ca) = c limnan = ca (c tetszőleges valós szám).
limn(an/bn) = limnan/ limnbn = a/b, feltéve, hogy bn0 és b0.
A mértani sor összege
Az s = a1+a2+a3…+an+… össszeget sornak nevezzük. Az összegben szereplő számok az {an} sorozat tagjai.
Ha az s = a1+a2+a3…+an+… sor részletösszegeiből alkotott sorozatnak van határértéke, akkor a sor összegét ezzel a határértékkel definiáljuk. Az ilyen sort konvergensnek nevezzük.
limn(1+1/n)n = e.
A mértani sornak akkor és csakis akkor van összege, ha 0<|q|<1. Az összeg s = a/(1-q).