Matematika érettségi

Számsorozatok

Számsorozat fogalma, megadása és ábrázolása

Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, az értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza.

Számtani sorozat

Az a1, a2, a3… an sorozatot számtani sorozatnak nevezzük, ha (a második tagtól kezdve) bármelyik tagból kivonjuk a megelőző tagot, a különbség állandó. Ezt az állandót a számtani sorozat különbségének vagy differenciájának nevezzük, és d-vel jelöljük.

an = a1+(n-1)d.

Az első tag kivételével a számtani sorozat bármelyik tagja a tőle (balra és jobbra) szimmetrikusan elhelyezkedő két tag számtani közepével egyenlő. ak+i = ak+2i+ak/2

Tétel: Nem létezik olyan csupa pozitív egész számokból álló számtani sorozat, amelynek minden tagja prímszám.

Bizonyítás: Legyen a sorozat első tagja a, a különbsége d. Az a legyen prímszám és a d pozitív egész szám. Tekintsük a sorozat n=a+1-edik tagját. an=a+(n-1)d = a+ad = a(1+d). Innen látható, hogy a sorozatban az (a+1)-edik tag nem lehet prímszám, mert osztható az a>1 és a d+1>1 egész számokkal.

A számtani sorozat első n tagjának összege: Sn = n(a1+an)/2

Mértani sorozat

Az a1, a2, a3… an sorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha (a második tagtól kezdve) bármelyik tagot elosztjuk a megelőzővel, a hányados állandó. Ezt az állandót a mértani sorozat hányadosának vagy kvóciensének nevezzük, és q-val jelöljük.

A definícióból következik, hogy a mértani sorozat tagjai között a 0 nem fordulhat elő, mert a 0-val osztani nem lehet.

A mértani sorozat n-edik tagjának kiszámítása: an = a1qn-1 (nZ+)

A pozitív számokból álló mértani sorozat bármelyik tagja a második tagtól kezdve a tőle balra és jobbra szimmetrikusan elhelyezkedő tagok mértani közepe. ak+i = akak+2i

A mértani sorozat első n tagjának összege: Sn = a1(qn-1)/q-1

Korlátos, monoton sorozatok

Az {an} sorozat felülről korlátos, ha létezik olyan K valós szám, hogy minden n-re an<=K. A K számot a sorozat felső korlátjának nevezzük.

Az {an} sorozat alulról korlátos, ha létezik olyan k valós szám, hogy minden n-re, an>=k. A k számot a sorozat alsó korlátjának nevezzük.

Az olyan sorozatot, amely alulról is és felülről is korlátos, korlátos sorozatnak nevezzük.

Az {an} sorozat monoton növő (fogyó), ha minden n-re an<= an+1 (an>=an+1). Ha szigorú egyenlőtlenség teljesül, akkor szigorúan monoton sorozatról beszélünk.

Az {(1+1/n)n} sorozat korlátos.

Konvergens sorozatok

Egy a (valós) szám >0 sugarú környezetén az ]a-;a+[ nyílt intervallumot értjük. Az -tól függő N természetes számot küszöbindexnek nevezzük.

Az {an} sorozat konvergens és határértéke az a szám, ha bármely (az a számot tartalmazó) ]a-;a+[ (>0) intervallumon kívül a sorozatnak csak véges sok tagja van. Az {an} valós számsorozat konvergens és határértéke a, ha minden (>0) számhoz van olyan N természetes szám, hogy ha n>N, akkor |an-a|<. Az N számot küszöbszámnak nevezzük.

Minden konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. Minden konvergens sorozat korlátos.

Ha {an} monoton növő (fogyó) és felülről (alulról) korlátos sorozat, akkor van határértéke.

Ha minden n-re an<= cn<= bn, és an a és bn a, akkor cn a.

Ha an + vagy an , akkor 1/an 0.

Feltételezzük, hogy az {an} és a {bn} sorozatok konvergensek, és an a és bn b. Ekkor

  • limn(an+-bn) = limnan+- limnbn = a+-b

  • limn(anbn) = limnan limnbn = ab

  • limn(ca) = c limnan = ca (c tetszőleges valós szám).

  • limn(an/bn) = limnan/ limnbn = a/b, feltéve, hogy bn0 és b0.

A mértani sor összege

Az s = a1+a2+a3…+an+… össszeget sornak nevezzük. Az összegben szereplő számok az {an} sorozat tagjai.

Ha az s = a1+a2+a3…+an+… sor részletösszegeiből alkotott sorozatnak van határértéke, akkor a sor összegét ezzel a határértékkel definiáljuk. Az ilyen sort konvergensnek nevezzük.

limn(1+1/n)n = e.

A mértani sornak akkor és csakis akkor van összege, ha 0<|q|<1. Az összeg s = a/(1-q).

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé.