Matematika érettségi

Függvények vizsgálata elemi úton és a differenciálszámítás felhasználásával

Függvények jellemzése (vizsgálata) elemi úton

      1. Értelmezési tartomány: Pl.: Df = R; Értékkészlet: Pl. Rf = R

      2. Menete: (szigorúan) monoton csökkenő (hol), és/vagy (szigorúan monoton növekvő.

      3. Zérus-hely: ahol a függvény az x – tengelyt metszi.

      4. Szélső érték: fajtája (minimum, maximum), helye (x), nagysága (y).

      5. Korlátosság: Alulról korlátos vagy felülről korlátos vagy korlátos. (k, K értékei): az f függvényt korlátosnak nevezzük, ha az értékkészlete korlátos számhalmaz [k<=f(x)<=K, ahol k, KR és rögzített számok].

      6. Periodikus függvény (p a periódus értéke)

      7. Paritás, párosság: páros (y – tengelyre szimmetrikus) vagy páratlan (x- tengelyre szimmetrikus)

      8. Kölcsönösen egyértelmű e.

Függvényvizsgálat differenciálszámítás felhasználásával

  1. Az értelmezési tartomány meghatározás Pl: Df = R.

  2. Szakadási helyek; folytonosság; korlátosság; a függvény viselkedése + és – végtelenben, az értelmezési tartomány szélein.

  3. Zérus-hely, tengelymetszetek. (Zérus-hely: f(x) = 0. y tengelyen x = 0.

  4. A helyi szélsőértékek megállapítása: A függvénynek abban az x0 helyen lehet szélsőértéke, amelyben az első deriváltja 0. Azaz f’(x0)=0. Az x0-ban az f(x) függvénynek maximuma van, ha az f’(x) függvény értéke az x0 környezetében előjelet vált, mégpedig pozitívból negatívba megy át. Az f(x) függvénynek az x0 pontban minimuma van, ha a fentieken kívül az f’(x) függvény az x0 környezetében előjelet vált, mégpedig negatívból pozitívba.

  5. Az f(x) függvény az értelmezési tartomány [a;b] intervallumában konvex, ha:

a x1 x x2 b konkáv, ha:

a x1 x x2 b

A függvénygörbe alakja abban az intervallumban konvex, amelyben a második derivált előjele pozitív. A függvénygörbe alakja konkáv abban az intervallumban, amelyben a második derivált előjele negatív. Inflexiós pont: ahol egy konkáv és egy konvex ív csatlakozik.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük