Függvények jellemzése (vizsgálata) elemi úton

1. • 1. Értelmezési tartomány: Pl.: D_f = R; Értékkészlet: Pl. R_f = R

     2. Menete: (szigorúan) monoton csökkenő (hol), és/vagy (szigorúan monoton növekvő.

     3. Zérus-hely: ahol a függvény az x – tengelyt metszi.

     4. Szélső érték: fajtája (minimum, maximum), helye (x), nagysága (y).

     5. Korlátosság: Alulról korlátos vagy felülről korlátos vagy korlátos. (k, K értékei): az f függvényt korlátosnak nevezzük, ha az értékkészlete korlátos számhalmaz [k<=f(x)<=K, ahol k, KR és rögzített számok].

     6. Periodikus függvény (p a periódus értéke)

     7. Paritás, párosság: páros (y – tengelyre szimmetrikus) vagy páratlan (x- tengelyre szimmetrikus)

     8. Kölcsönösen egyértelmű e.

Függvényvizsgálat differenciálszámítás felhasználásával

1. Az értelmezési tartomány meghatározás Pl: D_f = R.

2. Szakadási helyek; folytonosság; korlátosság; a függvény viselkedése + és – végtelenben, az értelmezési tartomány szélein.

3. Zérus-hely, tengelymetszetek. (Zérus-hely: f(x) = 0. y tengelyen x = 0.

4. A helyi szélsőértékek megállapítása: A függvénynek abban az x₀ helyen lehet szélsőértéke, amelyben az első deriváltja 0. Azaz f’(x₀)=0. Az x₀-ban az f(x) függvénynek maximuma van, ha az f’(x) függvény értéke az x₀ környezetében előjelet vált, mégpedig pozitívból negatívba megy át. Az f(x) függvénynek az x₀ pontban minimuma van, ha a fentieken kívül az f’(x) függvény az x₀ környezetében előjelet vált, mégpedig negatívból pozitívba.

5. Az f(x) függvény az értelmezési tartomány [a;b] intervallumában konvex, ha:

a x₁ x x₂ b konkáv, ha:

a x₁ x x₂ b

A függvénygörbe alakja abban az intervallumban konvex, amelyben a második derivált előjele pozitív. A függvénygörbe alakja konkáv abban az intervallumban, amelyben a második derivált előjele negatív. Inflexiós pont: ahol egy konkáv és egy konvex ív csatlakozik.