Matematika érettségi

Területszámítás elemi úton és az integrálszámítás felhasználásával

Sokszögek területe

A terület számértéke pozitív szám. Egybevágó síkidomok területe azonos. A síkidom területe egyenlő a részei területének összegével.

Az a, b oldalhosszúságú téglalap területe: T= ab. Ha a téglalap minden oldala azonos hosszúságú, azaz ha a= b, akkor az négyzet. Az a oldalhosszúságú négyzet területe: T=a2.

Ha a paralelogramma átalakítható azonos téglalappá, akkor területét már meghatározhatjuk. Húzzuk meg az egyik magasságát, majd az azonos oldalból kiinduló DC vektorral eltoljuk, s így már téglalap lesz belőle. Paralelogramma területét megadja az egyik oldalhosszának és a hozzátartozó magasságának a szorzata: T= ama vagy T= bmb.

Egy háromszöget tükrözve az egyik oldalfelező pontjára, egy paralelogrammát kapunk, amiben kétszer is megtalálható ugyan az a háromszög. A háromszög területét megadja az egyik oldalhosszúság és a hozzátartozó magasság szorzatának a fele: T= ama/2.

Egy trapézt tükrözve egyik szárának felezőpontján egy paralelogrammát kapunk, amiben a trapéz kétszer is megtalálható. A trapéz területét megadja középvonalának és magasságának a szorzata, azaz a területet megkapjuk, ha a két párhuzamos oldal hosszúságának összegét szorozzuk a magassággal és osztjuk 2-vel: T= (a+c)m/2.

A deltoid területe: T= ef/2.

Más sokszögek területét is háromszögekre bontás segítségével számíthatjuk ki. A háromszögek területének az összege adja a sokszög területét.

Területszámítás integrálszámítás felhasználásával

Ha egy [a,b] intervallumban értelmezett folytonos f(x) függvény görbéje, az a és b határpontokhoz tartozó ordináta-szakaszok, valamint az x-tengely által határolt (előjeles) területet akarjuk meghatározni, akkor a függvény a-tól b-ig vett határozott integrálját kell képeznünk: T= abf(x)dx.=[F(x)]ba= F(b)-F(a)

Az előjeles terület azt jelenti, hogy (a<b esetén) az x-tengely feletti terület pozitív, a tengely alatti pedig negatív előjelű.

Alapintegrálok: Azokat az integrálokat, amelyeket valamilyen elemi függvény deriválásának megfordításakor kapunk, alapintegráloknak nevezzük.

  • dx= x+C,

  • xndx=xn+1/n+1+C, ahol n bármilyen egész vagy tört lehet, de n-1.

  • dx/x= ln|x|+C

  • exdx= ex+C

  • axdx= ax/lna+C, ahol a>0 és a1.

  • sinxdx= -cosx+C.

  • cosxdx= sinx+C.

  • dx/cos2x=tgx+C

  • dx/sin2x=-ctgx+C.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük