Matematika érettségi

Első- és másodfokú egyenlőtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei.

Definíció: Két pozitív szám számtani közepének a két szám összegének a felét nevezzük.

A számtan latinul aritmetika, ezért a számtani közepet aritmetikai középnek is nevezzük, és A betűvel jelöljük. Két szám számtani közepét szokás az alábbi módon jelölni: A(a;b) = a+b/2.

Definíció: Két pozitív szám mértani közepének a két szám szorzatának négyzetgyökét nevezzük.

Két szám mértani közepének szakaszhosszakkal szemléletes értelmet is adhatunk. Ezért kapta a mértani vagy geometriai közép elnevezést. Szokásos jelölése: G(a;b) = ab.

Definíció: Két pozitív szám harmonikus közepe a két szám reciprokából számított számtani közép reciproka.

Szokásos jelöléssel: H(a;b) = 1/(1/a+1/b)/2

Definíció: Két pozitív szám négyzetes közepének nevezzük azt a számot, amelyet a két szám négyzetének számtani közepéből négyzetgyökvonással kapunk: N(a;b) = (a2+b2/)2.

Két szám négyféle közepére az alábbi egyenlőtlenség áll fenn: H(a;b)<=G(a;b)<=A(a;b)<=N(a;b).

Vizsgáljuk meg, hogy igaz-e két szám számtani és mértani közepe között a ab<=(a+b)/2 egyenlőtlenség.

Az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, ezért a bal és a jobb oldal négyzete között ugyanilyen irányú egyenlőtlenség áll fenn: ab<=(a2+2ab+b2)/4

0<=a2+2ab+b2-4ab=(a–b)2

Tehát valóban: G(a;b)<=A(a;b)

Ugyanezen elgondolás alapján a többi egyenlőtlenséget is be lehet bizonyítani.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük