Matematika érettségi

Adatsokaságok jellemzői, a valószínűségszámítás elemei

1. Az események algebrája

Alap fogalmak

Definíció: Véletlen jelenségek azok a jelenségek, amelyeket az ismert feltételek nem határoznak meg egyértelműen. (A jelenségnek tehát van oka, okai, de azok nem ismertek teljes egészében.)

Definíció: Kísérletet végzünk, ha egy véletlen jelenséget megfigyelünk. A kísérletet többször, ugyanolyan körülmények között végrehajtjuk.

Definíció: Elemi eseménynek nevezzük a véletlen jelenségre vonatkozó kísérlet egy kimenetelét. Jele: Ω. Az eseménytér elemeinek számát a szokásos halmazjelöléssel, |Ω|-val jelöljük.

Definíció: Eseménynek nevezzük az eseménytér részhalmazát. Az események jelölése ezért a halmazjelölésekkel egyezik meg: pl. A esemény. Az „A” esemény elemeinek számát |A|-val jelöljük.

  1. Mivel az események részhalmazok, ezért az események közötti műveletek és a halmazműveletek egymásnak megfeleltethetők.

  2. Minden eseményhez hozzárendelhető egy állítás (ítélet), nevezetesen az, hogy a szóban forgó esemény bekövetkezik. Ezért az események közötti műveletek és a logikai műveletek egymásnak megfeleltethetők.

Definíció: Biztos eseménynek nevezzük azt az eseményt, amely mindenképpen bekövetkezik. A biztos eseménynek megfelelő halmaz a teljes eseménytér, ezért a biztos esemény jele: Ω

Definíció: Lehetetlen eseménynek nevezzük azt az eseményt, amely semmiképpen nem következhet be. A lehetetlen eseménynek megfelelő halmaz az üres halmaz, ezért a lehetetlen esemény jele: Ø

Definíció: Azt az eseményt, amelyik pontosan akkor következik be, amikor az A esemény nem következik be, az A esemény komplementerének nevezzük és /felülvonás/A-val jelöljük.

Események közötti relációk

Definíció: Az A esemény maga után vonja a B eseményt, ha az A esemény bekövetkezése esetén a B esemény is mindig bekövetkezik. Ezt a körülményt a c jellel jelöljük: A c B.

Definíció: Két esemény A és B egyenlő, ha a kísérlet bármely lehetséges kimenetele esetén vagy mindkettő bekövetkezik, vagy egyik sem. Jelölése: A=B.

Műveletek eseményekkel

Definíció: Azt az eseményt, amelyik pontosan akkor következik be, ha az A illetve a B események közül legalább az egyik bekövetkezik, az A illetve a B esemény összegének nevezzük. Jele: A+B

  1. Az események összeadása megfelel a halmazok uniójának.

  2. Az események összeadása megfelel a „megengedő vagy” (diszjunkció) logikai műveletnek.

Tétel: Véges számú eseményből álló eseménytérben minden esemény előállítható elemi események összegeként. Ez az előállítás az összeadandók sorrendjétől eltekintve egyértelmű.

Definíció: Azt az eseményt, amelyik pontosan akkor következik be, ha az A illetve a B események közül mindkettő bekövetkezik, az A illetve a B esemény szorzatának nevezzük. Jele: A∙B, röviden AB.

  1. Az események szorzása megfelel a halmazok metszetének.

  2. Az események szorzása megfelel az „és” (konjunkció) logikai műveletnek.

Definíció: Egymást kizáró eseménynek nevezzük az A és B eseményeket akkor, ha egyszerre nem következnek be, azaz A∙B=Ø. (Könnyen belátható, hogy ha E1 és E2 különböző elemi események, akkor E1 és E2 kizáró események.)

Definíció: A és B esemény különbsége: A–B= A∙/felülvonás/B, azaz: A–B bekövetkezik, ha A bekövetkezik, de B nem.

Definíció: Szimmetrikus differencia: Azt az eseményt jelenti, hogy A és B esemény közül az egyik és csakis az egyik következik be. Jele: A˚B. Tehát A˚B=(A–B)+(B–A).

Definíció: Teljes eseményrendszernek nevezzük az A1, A2, A3, … An események halmazát, ha teljesülnek a következő feltételek:

  1. A1, A2, A3, … An páronként kizáró események, azaz Ai∙Bj=Ø, ha i≠j.

  2. Egyik sem lehetetlen esemény, azaz Ai≠Ø.

  3. Közülük egy és csakis egy mindig bekövetkezik, azaz: A1+A2+A3+…+An=Ω.

2. A valósznűség fogalma

A valószínűség számítás feladata a véletlen tömegjelenségek vizsgálata. Pl. radioaktív bomlás, gáz nyomása, gyártási selejt előfordulása, szerencsejátékok, stb.

Tekintsünk egy olyan kísérletet, amelynél a figyelembe vett körülmények a kísérlet eredményét nem határozzák meg egyértelműen, hanem többféle kimenetelt engednek meg, tehát egy véletlen jelenséget figyelünk meg. Legyen az A esemény ezen lehetőségek egyike. Hajtsuk végre a kísérletet többször, azonos körülmények között. Ekkor az A esemény a kísérletek egy részében bekövetkezik, más részében nem. Ez utóbbi esetekben tehát /felülvonás/A következik be.

Definíció: Ha n kísérletből az A esemény pontosan k- szor következett be, akkor k-t az A esemény gyakoriságának nevezzük.

Definíció: Ha n kísérletből az A esemény pontosan k- szor következett be, akkor a k/n törtet az A esemény relatív gyakoriságának nevezzük.

Definíció: Azt a számot, amely körül egy véletlen esemény relatív gyakorisága ingadozik, az illető esemény valószínűségének nevezzük. Jelölése: P(A).

Fontos megjegyzések:

  1. A valószínűség rögzített szám, a relatív gyakoriság pedig a véletlentől függ.

  2. Ha egy kísérletet n- szer hajtunk végre és az A esemény k- szor következik be, akkor a 0≤ k ≤ n egyenlőtlenség szerint minden esetre 0 ≤ k/n ≤1 igaz. Tehát egy esemény relatív gyakorisága mindig 0 és 1 közötti szám. Ezért nyilvánvaló, hogy minden esemény valószínűsége is 0 és 1 közé esik. A két szélső eset: a lehetetlen esemény valószínűsége 0, a biztos esemény valószínűsége 1.

  3. Ha az eseménytér elemi eseményei egyenlő valószínűségűek, akkor egy A esemény bekövetkezésének valószínűségét kiszámíthatjuk a következő módon:

P(A)=K/N=| A|/|Ω|

Ahol K az esemény szempontjából kedvező esetek száma, (vagyis az A esemény elemeinek száma) és N az összes lehetséges esetek száma (vagyis a teljes eseménytér, Ω elemeinek száma). Ebben az esetben a valószínűség klasszikus modelljéről van szó.

A valószínűségre vonatkozó legfontosabb tételek

Tétel: Ha az A esemény bekövetkezése maga után vonja a B esemény bekövetkezését, akkor az A valószínűsége kisebb, vagy egyenlő, mint a B valószínűsége. Jelöléssel: Ha A cB, akkor P(A)≤P(B)

Tétel: Minden A esemény bekövetkezési valószínűségének és komplementere valószínűségének az összege 1. Jelöléssel: P(A)+P(/felülvonás/A)=1.

Tétel: Ha az A1, A2, A3, … An események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor valószínűségeik összege 1: P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An)=1.

Tétel: Ha A és B tetszőleges események, akkor P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB).

3. Események függetlensége

Definíció: Ha N kísérletet végezve a B esemény pontosan n- szer fordult elő és e közül az n kísérlet közül k esetben B- vel együtt az A esemény is bekövetkezett, akkor a k/n hányadost az A eseménynek a B feltétel melletti feltételes relatív gyakoriságnak nevezzük. A feltételes relatív gyakoriság a P(AB)/P(B) körül ingadozik, ezért ezt a számot nevezzük az A esemény B feltétel melletti feltételes valószínűségének. A feltételes valószínűség jele: P(A|B). Tehát az A eseménynek a B feltételre vonatkozó feltételes valószínűségét úgy számíthatjuk ki, hogy A és B együttes bekövetkezésének valószínűségét osztjuk B valószínűségével. (feltétel: P(B)>0): P(A|B)=P(AB)/P(B)

Definíció: Az A esemény független a B eseménytől, ha az A eseménynek a B eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége egyenlő az A esemény valószínűségével. Jelőlésel: P(A|B)=P(A).

Megjegyzés: Ha A független B-től, akkor B is független A-tól. Ekkor azt mondjuk. Hogy A és B függetlenek egymástól.

Tétel: Ha A és B függetlenek, akkor P(AB)=P(A)P(B).

Geometriai valószínűség

Milyen valószínűséggel esik egy kör belsejében kiválasztott pont a körbe írt szabályos háromszögbe. (P=T /T )

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé.