Matematika érettségi

A hasonlóság és alkalmazásai háromszögekre vonatkozó tételek bizonyításában

Hasonlósági transzformáció és tulajdonságai

  • A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma, tulajdonságai

Definíció: Megadunk egy pontot, a középpontos hasonlósági transzformáció középpontját (legyen ez O) és egy a számot (a0). Valamely ponthoz a következő módon rendeljük a képét: Ha P=O, akkor a P pont képe önmaga. Ha QO, akkor a Q pont képe az OQ egyenesnek olyan Q’ pontja, amelyre OQ’ = |a|OQ. Ha 0<a, akkor a Q’ pont az OQ félegyenesen van, ha a<0, akkor a Q’ pont az OQ egyenesen Q-val ellentétes irányban van. Az a (a0) számot a középpontos hasonlóság arányának nevezzük.

A középpontos hasonlóságnál megadott középpont fixpont. A középpontos hasonlóság szögtartó. Középpontos hasonlóságnál bármely szakasz képének és az eredeti szakasznak az aránya állandó. (Ez az állandó a hasonlóság arányának abszolút-értéke).

  • A hasonlósági transzformáció fogalma, tulajdonságai

Definíció: Középpontos hasonlóság és egybevágósági transzformáció szorzatát hasonlósági transzformációnak nevezzük. A középpontos hasonlóság arányát a hasonlósági transzformáció arányának nevezzük. A hasonlósági transzformáció megadásánál fontos a sorrend!

Egyenes képe egyenes. A hasonlósági transzformáció szögtartó. Az a arányú hasonlósági transzformáció bármely PQ szakasz hosszát |a|PQ hosszúságúra változtatja. (A hasonlósági transzformáció aránytartó.)

Hasonló alakzatok

Definíció: Hasonlónak nevezünk két alakzatot, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi át. A hasonlóság jele:

Bármely két kör hasonló.

Két háromszög hasonló, ha rájuk a következő feltételek egyike teljesül (ha egy teljesül, akkor a többi is teljesül):

  1. Megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő

  2. Két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek egyenlők

  3. Két-két szögük páronként egyenlő

  4. Két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközt lévő szögek egyenlők.

Két sokszög hasonló, ha rájuk a következő feltételek egyike teljesül: megfelelő oldalaik és megfelelő átlóik hosszának aránya egyenlő; vagy megfelelő oldalaik aránya egyenlő és megfelelő szögeik páronként egyenlők.

Hasonló síkidomok területének aránya

A (lambda) arányú hasonlósági transzformáció bármely szakasz hosszát -szorosára változtatja meg.

Az új háromszög területét úgy kapjuk meg, hogy az eredeti háromszög területét szorozzuk a hasonlóság arányának a négyzetével. t’ = ama/2=2ama/2 = 2t.

Tétel: Hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának a négyzete.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé.