Matematika érettségi

Derékszögű háromszögek

Összefüggés a derékszögű háromszög oldalai között

Ha egy háromszögről azt mondjuk, hogy derékszögű, akkor ezzel egy adatát megadtuk.

A derékszögű háromszög oldalai között szoros kapcsolat van. A közöttük lévő összefüggést Pitagorasz tételének nevezzük.

Tétel: Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.

Bizonyítás: Vegyünk két négyzetet, mindkettő oldalhossza legyen a+b. Ezeket bontsuk részekre kétféle módon:

a+b a+b

a b a R b

a a2 a b c a

c Q

b b2 b S C2 c b

c

a

A a b B A b P a B

Ha mindkét nagy négyzetből elvesszük a minden méretében azonos (csak más helyzetű) négy-négy derékszögű háromszöget, akkor a maradék területeknek is egyenlőknek kell lenniük. A bal oldali nagy négyzetből két kis négyzet marad, ezek együttes területe a2+b2. A jobb oldali nagy négyzetből marad a középső négyszög. Ennek minden oldala c. A maradék négyszög négyzet. (Mert minden oldala 90), területe c2. A kétféle módon kapott maradék-területek egyenlő nagyságúak. Ezért a2+b2 = c2 A tétel megfordítható.

Thalész tétele

Tétel: Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. (A kör átmérője a derékszögű háromszög átfogója.)

Bizonyítás: Az O középpontú kör átmérőjére rajzolt megfelelő ABC háromszög A-nál lévő szögét -val, a B-nél lévő szögét -val jelöljük. Az OC sugár meghúzásával az AOC és a BOC egyenlő szárú háromszöget kapjuk. Ezek alapján a belső szögek összege: ++(+) = 180, + = 90 A tételt bebizonyítottuk. Thalész tétele megfordítható.

Derékszögű háromszögek oldalairól, oldalszakaszairól

Tétel: Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének. Ez a magasságtétel. m2=xy m=xy

Tétel: Derékszögű háromszögben az egyik befogó mértani közepe az átfogón lévő merőleges vetületnek és az átfogónak. Ez a befogótétel. a2=cx, a=cx

A befogótétel kétféle módon történő megadása (a-ra és b-re), valamint ezek összeadása megadja Pitagorasz tételét.

A derékszögű háromszög magasságtétele vagy befogótétele segítségével megszerkeszthetjük két szakasz mértani közepét.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük