Összefüggés a derékszögű háromszög oldalai között
Ha egy háromszögről azt mondjuk, hogy derékszögű, akkor ezzel egy adatát megadtuk.
A derékszögű háromszög oldalai között szoros kapcsolat van. A közöttük lévő összefüggést Pitagorasz tételének nevezzük.
Tétel: Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.
Bizonyítás: Vegyünk két négyzetet, mindkettő oldalhossza legyen a+b. Ezeket bontsuk részekre kétféle módon:
a+b a+b
a b a R b
a a2 a b c a
c Q
b b2 b S C2 c b
c
a
A a b B A b P a B
Ha mindkét nagy négyzetből elvesszük a minden méretében azonos (csak más helyzetű) négy-négy derékszögű háromszöget, akkor a maradék területeknek is egyenlőknek kell lenniük. A bal oldali nagy négyzetből két kis négyzet marad, ezek együttes területe a2+b2. A jobb oldali nagy négyzetből marad a középső négyszög. Ennek minden oldala c. A maradék négyszög négyzet. (Mert minden oldala 90), területe c2. A kétféle módon kapott maradék-területek egyenlő nagyságúak. Ezért a2+b2 = c2 A tétel megfordítható.
Thalész tétele
Tétel: Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. (A kör átmérője a derékszögű háromszög átfogója.)
Bizonyítás: Az O középpontú kör átmérőjére rajzolt megfelelő ABC háromszög A-nál lévő szögét -val, a B-nél lévő szögét -val jelöljük. Az OC sugár meghúzásával az AOC és a BOC egyenlő szárú háromszöget kapjuk. Ezek alapján a belső szögek összege: ++(+) = 180, + = 90 A tételt bebizonyítottuk. Thalész tétele megfordítható.
Derékszögű háromszögek oldalairól, oldalszakaszairól
Tétel: Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének. Ez a magasságtétel. m2=xy m=xy
Tétel: Derékszögű háromszögben az egyik befogó mértani közepe az átfogón lévő merőleges vetületnek és az átfogónak. Ez a befogótétel. a2=cx, a=cx
A befogótétel kétféle módon történő megadása (a-ra és b-re), valamint ezek összeadása megadja Pitagorasz tételét.
A derékszögű háromszög magasságtétele vagy befogótétele segítségével megszerkeszthetjük két szakasz mértani közepét.