Matematika érettségi

Szakaszok és egyenesek a koordinátasíkon

Szakasz hossza, osztópontja, háromszög súlypontja

Szakasz hossza: |AB|=(b-a)2 = |b-a| = (x1-x2)2+(y1-y2)2 (Pitagorasz tételéből).

A szakasz felezőpontjának koordinátái: x= (x1+x2)/2 y= (y1+y2)/2

A szakasz adott arányú osztópontja: Az AB szakaszt m:n arányban osztó P ponttal létrehozott AP és PB szakaszhosszakra fennáll: AP:PB =m:n AP = mAB/(m+n) p=a+AP= a+m(AB)/(m+n)= a+m(b-a)/m+n= (ma+na+mb-ma)/m+n= (na+mb)/m+n. Ebből: x= (nx1+mx2)m+n, y= (ny1+my2)/m+n.

Háromszög súlypontjának koordinátái: x= (x1+x2+x3)/3, y= (y1+y2+y3)/3.

Az egyenes helyzetét jellemző adatok

Definíció: Egy egyenes irányvektora az egyenessel egyállású bármely vektor, amely nem zérus-vektor. Jele: v(x2-x1; y2-y1)

Definíció: Az (xy) síkban egy egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, a zérus-vektortól különböző bármely vektor. Jele: n(y2-y1; x1-x2)

Definíció: Az (xy) koordinátasíkon az egyenes irányszögének nevezzük az egyenes és az x tengely pozitív iránya által bezárt szöget.

Definíció: A koordinátasíkon az egyenes irányszögének tangensét (ha létezik) az egyenes iránytangensének nevezzük. Jele: m (m= tg = (y2-y1)/(x2-x1).

Valamely egyenes irányvektora és normálvektora merőleges egymásra, emiatt skaláris szorzatuk 0: vn=0.

Ha két egyenes párhuzamos, akkor normálvektoraik és irányvektoraik egyállásúak, iránytangensei és irányszögei egyenlők. Ez fordítva is igaz.

Ha két egyenes merőleges egymásra, akkor normálvektoraik és irányvektoraik is merőlegesek egymásra, skaláris szorzatuk 0. Ez fordítva is igaz. Iránytangenssel rendelkező egyenesek akkor és csak akkor merőlegesek egymásra, ha iránytangenseik egymásnak ellenkező előjelű reciprok értékei.

Az egyenes egyenlete

Az egyenes az r0(x0; y0) helyvektorú P0(x0; y0) pontjával és az n(A;B) normálvektorával adott. Az egyenes vektoregyenlete: n(r-r0)=0. A normálvektor koordinátáival felírt egyenes egyenlete: Ax+By = Ax0+Bx0

Két egyenes metszéspontjának meghatározása a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer megoldását kívánja.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük