Matematika érettségi

Húrnégyszög, érintőnégyszög, szimmetrikus négyszögek

Húrnégyszög

Definíció: Az a négyszög, ami köré kör írható. Oldalai az adott kör húrjai.

A húrnégyszög szögei közötti kapcsolat: Tétel: bármely húrnégyszögben a szemközti szögek összege 180

Bizonyítás: A kör egy ívéhez tartozó kerületi és középponti szögek közötti összefüggést használjuk fel. Az kerületi szöghöz tartozik a 2 középponti szög, az szöggel szemközti kerületi szöghöz tartozik a 2 középponti szög. 2+2=360, és ha 2-vel osztunk: +=180 A fordítottja is igaz: ha egy négyszög szemközti szögeinek összege 180, akkor az húrnégyszög.

A húrnégyszög köré írható kör középpontját úgy kapjuk meg, ha az oldalfelező merőlegeseket megszerkesztjük. Mind a négy oldal felezőmerőlegese egy pontban metszi egymást. Ez a metszéspont a húrnégyszög köré írható kör középpontja. Fordítottja is igaz.

Érintőnégyszög

Olyan konvex négyszög, amelybe szerkeszthető mind a négy oldalát érintő kör. Belső szögeinek szögfelezői egy pontban, a beírt kör középpontjában metszik egymást. Ha egy négyszög érintőnégyszög, akkor szemközti oldalainak összege egyenlő. Külső pontból a körhöz húzott érintő szakaszok egyenlő hosszúak. Egy konvex négyszög a síkon akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha a szemközti oldalainak összege egyenlő.

Szimmetrikus négyszögek

Definíció: Egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan síkbeli egyenes, amelyre az alakzatot tükrözve, önmagát az alakzatot kapjuk. Az egyenes az adott alakzat szimmetriatengelye.

Tengelyesen szimmetrikus négyszögek:

  • Egyenlőszárú trapézok: egy szimmetriatengelyük van (az alapokat merőlegesen felező egyenes a szimmetriatengely).

  • Deltoidok: egy szimmetriatengelyük van (az egyenlő oldalak metszéspontjait összekötő egyenes a szimmetriatengely).

  • Rombuszok: két szimmetriatengelyük van (a rombusz átlói a szimmetriatengelyek).

  • Téglalapok: két szimmetriatengelyük van ( a téglalap középvonalai ezek).

  • Négyzetek: négy szimmetriatengelyük van ( a két átló és a két középvonal ezek).

Definíció: Egy síkbeli alakzat középpontosan szimmetrikus, ha van olyan síkbeli pont, amelyre az alakzatot tükrözve, önmagát az alakzatot kapjuk. A pont az alakzat szimmetria-középpontja.

Középpontosan szimmetrikus négyszögek:

  • Paralelogrammák: szimmetria-középpontja az átlók metszéspontja.

  • Rombuszok: szimmetria-középpontja az átlók metszéspontja.

  • Téglalapok: szimmetria-középpontja az átlók metszéspontja.

  • Négyzetek: szimmetria-középpontja az átlók metszéspontja.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük