A vektor fogalma, elnevezések, jelölések

Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük. Jelölésük: AB^=a^

A vektor hosszát a vektor abszolút-értékének nevezzük. Jelölése: |AB^|=|a^|

Ha két vektorhoz található olyan egyenes, amely mindkettővel párhuzamos, akkor ezeket párhuzamos vektoroknak vagy egyállású vektoroknak nevezzük. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha abszolút-értékük egyenlő, párhuzamosak (egyállásúak) és azonos irányításúak. Ha két vektor abszolút-értéke egyenlő, párhuzamosak (egyállásúak) és ellentétes irányúak, akkor a két vektort egymás ellentettjének nevezzük. Az a^ vektor ellentettje -a^. Azt a vektort, amelynek abszolút-értéke 0, nullvektornak nevezzük. Jele: 0^ A 0^ iránya tetszőleges.

Vektorok összegezése és különbsége

Definíció: Adott az a^ és a b^ vektor. Egy pontból kiindulva felmérjük az egyik vektort, majd ennek végpontjába a másik vektort. A két vektor összege az a vektor, amely az első vektor kezdőpontjából a másik vektor végpontjába mutat.

Két vektor összeadása kommutatív művelet. A vektorok összeadása asszociatív művelet.

Definíció: Az a^–b^ különbségen az a^+(-b^) összeget értjük, azaz az a^-hoz hozzáadjuk a b^ ellentettjét.

Vektor szorzása számmal

Definíció: Adott egy a^ vektor és egy R szám. A) Ha a^0, akkor az a^ vektor és a  szám szorzata olyan vektor, amelynek abszolút-értéke |||a^| és iránya 0< esetén az a^ vektor iránya, <0 esetén az a^ vektorral ellentétes, =0 esetén a^=0, iránya tetszőleges. B) Ha a^=0, akkor a=0.

A skalárral történő szorzás tulajdonságai: a^+a^ és = (+)a^, (a^) = ()a^, (a^+b^) = a^+b^.

Azok a vektorok egysíkúak, amelyekhez van olyan sík, amelyekkel párhuzamosak.

Vektor felbontása összetevőkre

Tétel: Ha adott az a^ és a vele egyállású b^ vektor (a^0), akkor az a^ vektorból a b^ vektor skalárral történő szorzással előállítható. Azonos irányú a^ és b^ esetén: b^=|b^|a^/|a^|.

Bizonyítás: A vektorok nagyságukat látjuk. Egységvektoruk azonos: b^/x = a^/y, ebből b^=(x/y)a^. Ugyanezzel a gondolatmenettel dolgozhatunk ellenkező irányú vektorok esetén is.

Tétel: Ha adott a^ és b^ nem egyállású vektor, akkor bármely, velük egysíkú v^ vektor egyértelműen felbontható az adott vektorokkal egyállású összetevőkre, azaz egyértelműen felírható v^= a^+b^ alakban, ahol ,R. A v^ vektor előző felbontásánál a^ és b^ vektorok bázisvektorok.

Vektorok a koordinátasíkon

Helyvektorok összegének koordinátáit az egyes helyvektorok megfelelő koordinátáinak az összege adja meg. Az a^ (x₁, y₁) és b^ (x₂, y₂) helyvektorok összegének koordinátái: (x₁+x₂; y₁+y₂). A helyvektorok különbségének koordinátáit is hasonló elgondolással kapjuk meg. Egy vektor skalárszorosának koordinátáit az eredeti koordinátáknak ugyanazzal a skalárral történő szorzásával kapjuk meg. Valamely v^ (x; y) helyvektor c-szeresének koordinátái (cx; cy).